共轭转置

共轭转置

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矩阵

A

{\displaystyle A}

的共轭转置(英语:conjugate transpose,又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置(英语:Hermitian transpose))

A

{\displaystyle A^{*}}

的定义为:

线性代数

A

=

[

1

2

3

4

]

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}

向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵

向量

标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积(向量积 · 七维向量积) · 内积(数量积) · 二重向量

矩阵与行列式

矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 (LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解) · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 · 克罗内克积

线性空间与线性变换

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查论编

(

A

)

i

,

j

=

A

j

,

i

¯

{\displaystyle (A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}}

其中

(

)

i

,

j

{\displaystyle (\cdot )_{i,j}}

表示矩阵i行j列上的元素,

(

)

¯

{\displaystyle {\overline {(\cdot )}}}

表示标量的复共轭。

这一定义也可以写作:

A

=

(

A

¯

)

T

=

A

T

¯

{\displaystyle A^{*}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}}

其中

A

T

{\displaystyle A^{\mathrm {T} }\,\!}

是矩阵A的转置,

A

¯

{\displaystyle {\overline {A}}\,\!}

表示对矩阵A中的元素取复共轭。

通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置:

A

{\displaystyle A^{*}\,\!}

A

H

{\displaystyle A^{\mathrm {H} }\,\!}

,常用于线性代数

A

{\displaystyle A^{\dagger }\,\!}

,普遍用于量子力学,而同时

A

{\displaystyle A^{*}\,\!}

只表示为

A

{\displaystyle A\,\!}

的复数共轭。[1]

A

+

{\displaystyle A^{+}\,\!}

(但这一记号通常指矩阵的摩尔-彭若斯广义逆)

注意:某些情况下

A

{\displaystyle A^{*}\,\!}

也指仅对矩阵元素取复共轭,而不做矩阵转置,切勿混淆。

目录

1 实例

2 基本评注

3 性质

4 推广

5 参见

6 参考资料

7 外部链接

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